Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），A（-1，0），C（4，0），连接AB，BC，点为y轴负半轴上的一点，连接AG并延长交抛物线于点E，点D为线段AE上的一个动点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点F，与线段BC交于点N．

（1）求抛物线的表达式及直线BC的表达式；

（2）在点D运动的过程中，当FN的值最大时，在线段BC上是否存在一点H，使得FNH与ABC相似，如果存在，求出此时H点的坐标；

（3）当DF=4时，连接DC，四边形ABCD先向上平移一定单位长度后，使点D落在x轴上，然后沿x轴向左平移n（1n4）个单位长度，用含n的表达式表示平移后的四边形与原四边形重叠部分的面积S（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）直线的解析式为，抛物线的解析式为；（2）存在，点的坐标为；（3）．

【解析】

（1）将点A（-1，0），C（4，0）代入得出方程组，再解方程组求出a，b即可；根据B、C两点坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；

（2）如图2中，设，则，构建二次函数求出FN最大时，点F的坐标，证明是直角三角形，观察图象可知，只有时，，求出直线FH的解析式，利用方程组即可求出点H的坐标；

（3）根据，列出方程，求出m的值，分两种情形分别求解即可．

解：（1）把，代入

得到，

解得，

∴抛物线的解析式为，

∵，，

设直线的解析式为，

则有，

解得，

∴直线的解析式为．

（2）如图1中，设，则，

∴，

∵，

∴时，的值最大，此时，

∵，，，

∴，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，，

∴，

∵与相似，

观察图象可知，只有时， ，

设直线的解析式为，

把代入得，

∴直线的解析式为，

由，解得，

∴点的坐标为．

（3）∵，，

∴直线的解析式为，，

∵，

∴，

解得或3．

①当时，如图2中，时，重叠部分是四边形，

；

如图3中，时，重叠部分是，

．

②当时，如图4中，时，重叠部分是矩形．

．