Question

矩形ABCO的面积为10，OA比OC大3，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D，DF⊥AE于F．
（1）求OA、OC的长．
（2）求DF长；
（3）P为边BC上一动点，设△ABP的面积为x，△OPC的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（4）直线BC上是否存在点Q，使∠AQO=90°？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设OC=x，则OA=x+3，
由题意得：x（x+3）=10，
即（x-2）（x+5）=0，
解得：x=2，x=-5（舍去），
∴OA=5，OC=2；

（2）∵E为BC的中点，得到D为AD中点，且BC=5，AB=2，
∴AD=BE=2.5，根据勾股定理得：AE==，
∵矩形ABCD，∴BC∥AD，
∴∠BEA=∠EAD，又∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA，
∴=，
则DF=；

（3）∵S_矩形ABCD=S_△AED，
∴S_△ABP+S_△OCP=S_矩形ABCD，即x+y=5，
则y=5-x（0＜x＜5）；

（4）存在．画出图形，如图所示：
当AQ⊥QO时，∠AQB+∠CQD=90°，
∵∠AQB+∠BQA=90°，
∴∠CQD=∠BAQ，
又∠B=∠DCQ=90°，
∴△ABQ∽△QCD，∴=，设BQ=a，则QC=5-a，
∴=，即（a-1）（a-4）=0，
解得：a=1或a=4，
当BQ=a=1时，点Q坐标为（-4，2）；
当BQ=a=4时，点Q坐标为（-1，2），
综上，Q坐标为（-1，2）或（-4，2）．
分析：（1）设出OC的长为x，表示出OA=x+3，根据矩形的面积公式列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出OA和OC的长；
（2）由E为BC的中点，得到点D为AD中点，在直角三角形ABE中，根据勾股定理求出AE的长，然后利用两对角相等证明△ABE∽△DFA，根据相似三角形的对应边成比例即可求出DF的长；
（3）由矩形的面积等于三角形AED面积的2倍，得到三角形ABP的面积与三角形OCP的面积之和为5，即可列出y关于x的函数关系式，进而求出x的取值范围；
（4）存在．根据题意画出图形，由AQ与QD垂直得到角AQB与角CQD互余，又角AQB与角BAQ互余，根据同角的余角相等得到角CQD与角BAQ相等，又角B与角DCQ相等都等于直角，所以得到△ABQ与QCD两三角形相似，设BQ=a，则QC=5-a，根据相似三角形对应边成比例列出关于a的方程，求出a的值即可得到点Q的坐标．
点评：此题考查了同学们利用三角形相似的判断与性质、直角三角形的性质以及一元二次方程的应用等知识解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．