Question

（2013•常熟市模拟）如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，顶点D，C分别在射线AM、BN上运动，点E是AB上的动点，在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB（各动点都不与A，B重合）．经过C、D、E三点作圆．请探索以下2个问题：
（1）当AB=8时，若动点E恰好是过C、D、E三点的圆与AB的切点，求CD长？
（2）当AB=a时，说明△BEC的周长等于2a．

Answer 1

分析：（1）先设圆心为O，连结OE，根据OE⊥AB，AB⊥BC，AD∥BC，得出OE∥AD∥BC，AE=BE=4，则OE是梯形ABCD的中位线，设AD=x，则DE=8-x，得出4²+x²=（8-x）²，求出AD=3，根据AB⊥BC，AD∥BC，得出∠AED+∠ADE=90°，根据∠AED+∠BEC=90°，得出∠AED=∠BEC，则△ADE∽△BEC，得出

AD

BE

=

AE

BC

，最后根据OE=

1

2

（3+

16

3

）=

25

6

，即可得出CD=2OE=

25

3

．
（2）设AD=x，AE=m，则DE=a-x，在Rt△ADE中，得出a²-m²=2ax，再根据△ADE∽△BEC，得出

C△BEC

m+a

=

a-m

x

，则C_△BEC=

a2-m2

x

=2a．

解答：解：（1）∵DE⊥CE，
∴CD是过C、D、E三点作圆得直径，
设圆心为O，并连结OE，
∵点E恰好是过C、D、E三点的圆与AB的切点，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴OE∥AD∥BC，
∵OC=OD，
∴AE=BE=4，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
设AD=x，则DE=8-x，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，即AD=3，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BEC，
∵△ADE∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∴BC=

16

3

，
∴OE=

1

2

（3+

16

3

）=

25

6

，
∴CD=2OE=

25

3

．

（2）设AD=x，AE=m，则DE=a-x，
在Rt△ADE中，（a-x）²=m²+x²，
∴a²-m²=2ax，
又∵△ADE∽△BEC，
∴

C△BEC

m+a

=

a-m

x

，
∴C_△BEC=

a2-m2

x

=2a，
即△BEC的周长等于2a．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用了转化及整体代入的数学思想．