Question

如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，AC于E．
（1）证明：D点为BC中点．
（2）过D作⊙O切线交AC于M．求证：DM=

1

2

BE．

Answer 1

分析：（1）连接AD，因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质：“三线合一”即可证的D点为BC中点；
（2）连接OD，由DM为圆的切线，根据切线性质得到OD垂直于DM，又AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB为直角，由O为AB中点，且D为BC中点，得到OD为三角形ABC的中位线，根据中位线定理得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等得到OD垂直于BE，从而得到BE与DM平行，由D为BC中点得到M也为CE中点，即DM为三角形BCE的中位线，根据中位线定理得到DM等于BE的一半，得证．

解答：证明：（1）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴AD为△ABC的中线，
即D为BC的中点；

（2）连接OD，与BE交于点F，
∵DM为圆O的切线，∴OD⊥DM，即∠ODM=90°，
∵AB为圆O的直径，∴∠AEB=90°，
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠OFB=∠AEB=90°，即∠OFE=90°，
∴∠ODM=∠OFE，
∴BE∥DM，又D为BC中点，
∴M为EC中点，
∴DM为△BCE的中位线，
∴DM=

1

2

BE．

点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，中位线定理以及圆周角定理，在遇到直径有关的问题时，一般要构造直径所对的圆周角，这样可以由直径转换为直角，有助于问题的解决；遇到切线时，常常连接圆心与切点，可得直角来解决问题，同时注意三角形的中位线平行于第三条边，且等于第三边的一半，常常利用此定理来证明线段之间的位置关系与数量关系．