Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（OA＜OB）是一元二次方程x2﹣18x+72＝0组的解．点C是直线y＝2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD＝2．

（1）求点C的坐标；

（2）求直线AD的解析式；

（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐标为(3，6)；（2）y＝﹣x+6；（3）存在，Q的坐标为(﹣3，3)或(3，﹣3)或(3，﹣3)或(6，6)．

【解析】

（1）设直线AB的解析为y＝kx+b，解方程x2﹣18x+72＝0，得到的解即为OA，OB的长度，进而知道A和B的坐标，再把其横纵坐标分别代入求出k和b的值即可；把求出的解析式和直线y＝2x联立解方程组，方程组的解即为点C的坐标．

（2）要求直线AD的解析式，需求出D的坐标，因为点D在直线OC上因此可设D（a，2a），又因为OD＝2，由勾股定理可求出a的值，从而求得点D的坐标，把A、D的坐标代入，利用方程组即可求解．

（3）分四种情形：如图2中，当四边形OAP1Q1是菱形时．当四边形OAP2Q2是菱形时．当四边形AOQ3P3是菱形时．当四边形OP4AQ4是菱形时，分别求解即可解决问题．

（1）解方程x2﹣18x+72＝0，得到x＝6或12，

∵线段OA、OB的长（0A＜OB）是方程组的解，

∴OA＝6，OB＝12，

∴A（6，O），B（0，12），

设直线AB的解析为y＝kx+b，

∴，

∴直线AB：y＝﹣2x+12，

联立，

解得：，

点C的坐标为（3，6）

（2）如图1中，设点D：（a，2a），作DF⊥OA于F．

由OD＝2，OF＝a，DF＝2a，可得a2+（2a）2＝（2）2，

得：a＝±2，

∵由图得，a＞0，

∴a＝2．

∴D（2，4），

设直线AD的解析式为y＝kx+b

把A（6，0），D（2，4）代入得，

解得，

∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6；

（3）存在．如图2中，

当四边形OAP1Q1是菱形时，AO＝AP1＝P1Q1＝6，

∵∠DAO＝45°，

∴P1（6﹣3，3），

∴Q1（﹣3，3），

当四边形OAP2Q2是菱形时，同法可得Q2（3，﹣3），

当四边形AOQ3P3是菱形时，∵∠AOP3＝90°，

∴四边形OAQ3P3是正方形，可得Q3（6，6），

当四边形OP4AQ4是菱形时，

∵∠DAO＝∠OAQ4＝45°

∴∠P4AQ4＝90°，

∴四边形OP4AQ4是正方形，

∴Q4（3，﹣3），

综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣3，3）或（3，﹣3）或（3，﹣3）或（6，6）．