Question

如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（-9，0）
（1）求A、C两点的坐标；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）若抛物线y=x²+bx+c经过M、A两点，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了圆心M的坐标，即可得出OM的长，题中也告诉了圆的半径即可得出OA的长也就能求出A点的坐标．求C点坐标就是求OC的长，可连接MC，在直角三角形OMC中用勾股定理即可求出OC的长．
（2）本题只需证MC⊥CD即可，在直角三角形OCD中，根据OD和CD的长即可求出∠CDO的度数，在直角三角形MCO中可求出∠CMO的度数，有这两个角的度数即可求出∠DCM=90°，由此可得证．（本题方法不唯一．）
（3）将M、A的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．

解答：（1）解：连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OD=9，MC=6
OA=OM+MA=3+6=9，A（9，0），
∵OC=

MC2-OM2

=

62-32

=3

3

∴C（0，3

3

）

（2）证法一：在Rt△DCO中，
∵DC=

DO2+CO2

=

92+(3 3 )2

=6

3

在△DCM中，
∵CM2+DC2=62+(6

3

)2=144，DM²=（DO+OM）²=（9+3）²=12²=144
∴CM²+DC²=DM²
∴△DCM直角三角形．
∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半径
∴CD是⊙M的切线．
证法二：在Rt△COM中，
∵sin∠MCO=

OM

OC

=

3

6

=

1

2

∴∠MCO=30°
在Rt△DOC中，
∵tan∠DCO=

DO

CO

=

9

3 3

=

3

∴∠DCO=60°
∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半径．
证法三：在△CMO和△DMC中
∵

CM

OM

=

6

2

=2

DM

MC

=

DO+OM

MC

=

12

6

=2
∴

CM

OM

=

DM

MC

又∵∠CMO=∠DMC△CMO∽△DMC
∴∠COM=∠DCM=90°
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半径．
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半径．

（3）解：由抛物线y=x²+bx+c经过点M（3，0）和点A（9，0），
可得：

9+3b+c=0 81+9b+c=0

．
解得：

b=-12 c=27

．
∴抛物线的解析式为：y=x²-12x+27．

点评：本题考查了切线的性质、解直角三角形、二次函数解析式的确定等知识点．综合性较强．