Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=12，E为AB中点，∠DCE=45°，求DE的长．

Answer 1

分析：过D作DG垂直BC于G，过C作∠DCF为90度交AB的延长线于F，求出矩形ABGD，推出AB=DG=BC，∠DGC=90°=∠FBC，求出∠CDG=∠FCB，推出△DCG≌△FBC，得出DC=CF，根据SAS证△DCE≌△FCE，推出DE=EF，设DE=x，AE=BE=6，求出AD=18-x，根据勾股定理得出方程，求出即可．

解答：解：过D作DG垂直BC于G，过C作∠DCF为90度交AB的延长线于F，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，
∴∠ABC=∠DGB=∠A=90°，
∴四边形ADGB是矩形，
∴AB=DG=BC，∠DGC=90°=∠FBC，
∵∠DCF=90°，
∴∠DCG+∠CDG=90°，∠DCG+∠BCF=90°，
∴∠CDG=∠BCF，
∵在△DCG和△FBC中

∠CDG=∠BCF DG=BC ∠DGC=∠FBC

，
∴△DCG≌△FBC，
∴DC=CF，
∵∠DCE=45°，∠DCF=90°，
∴∠ECF=90°-45°=45°=∠DCE，
∵在△DCE和△FCE中

DC=CF ∠DCE=∠FCE CE=CE

，
∴△DCE≌△FCE，
∴DE=EF，
设DE=x，AE=

1

2

AB=6，
∵AD=BG=12-CG=12-BF=12-（EF-6）=18-EF=18-x，
∴在Rt△EAD中，由勾股定理得：6²+（18-x）²=x²
解得：DE=x=10．

点评：本题考查的知识点有全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角梯形的性质，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．用了方程思想．