Question

【题目】如图，在矩形BCOG中，OC＝3，点A为边OG上一点，OA＝，AB，∠CBA＝30°．动点D以每秒1个单位的速度从点C出发沿CO向终点O运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动，过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接AD、DE、EF，设运动时间为1秒．

（1）求DF的长（用含t的代数式表示）

（2）求证：四边形ADFE为平行四边形；

（3）探索当t为何值时，△BEF与以D，E，F为顶点的三角形相似？

Answer 1

【答案】(1)DF＝2t;(2)见解析；(3) t＝或t＝

【解析】

（1）在直角三角形中，30°对应的直角边为斜边的一半；

（2）对边相等且平行的四边形ADFE为平行四边形；

（3）分2种情况讨论。

（1）∵DF∥AB，

∴∠CFD＝∠CBA＝30°，

∵△CDF是直角三角形，∠CFD＝30°

∴DF＝2CD＝2t；

（2）∵动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向点B运动，

∴AE＝2t，

∴DF＝AE＝2t，

∵DF∥AB，

∴四边形ADEF是平行四边形；

（3）在直角三角形AGB中，∠AGB＝90°，

∠GAB＝∠CBA＝30°，BG＝OC＝3

∴AB＝2BG＝6，

∵DF∥AB，

∴∠BEF＝∠DFE．

分两种情况：

①当∠BFE＝∠DEF时，则△BEF∽△DFE，此时DE∥BC，即四边形DEBF是平行四边形，

∴DF＝BE，而DF＝2t，BE＝6﹣2t，

∴2t＝6﹣2t，

解得t＝；

②当∠BFE＝∠FDE时，则△BEF∽△EFD，

∴，

即EF2＝DF×BE，

∵四边形ADEF是平行四边形，即EF＝AD，

又AD2＝OD2+OA2，

∴（3﹣t）2+（）2＝2t×（6﹣2t），

解得t＝

综上所述，t＝或t＝