Question

【题目】定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且．

（1）若，点在延长线上．

① 当，点恰好为中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______;

② 如图2，若，图中是否存在“半角三角形”（△除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；

（2）如图3，若，保持的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出，， 满足的数量关系：______．

Answer 1

【答案】（1）① 如图，见解析；△或△或△或△; ②存在，“半角三角形”为△；证明见解析；（2）或．

【解析】

（1）①根据题干描述作出图形即可，利用等腰三角形的性质，根据“一个内角是另外一个内角的一半”的三角形符合题意，可得出结果.②延长到，使得，连接，构造全等三角形△≌△．再利用全等三角形的性质以及相关角度的转化，可求得，从而可得出结果.

（2）由（1）中②可知，，延长到点，使得，连接BF，构造全等三角形△≌△，进而可得出.因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的，所以可得出另外一种情况.

（1）① 如图，

图中的一个 “半角三角形”：△或△或△或△;
② 存在，“半角三角形”为△.

延长到，使得，连接．

∵，

∴ .

∴ .

∵，

∴．

∴．

在△和△中，

∴ △≌△.

∴ ，.

∵ ，

∴ .

∴．

∴∠BAE=2∠BEA,

∴△ 为“半角三角形”.

（2）或.

解：①延长到点，使得，连接BF,

∵，，

∴△≌△.

过点分别作于点，

于点,

可得.

∴.

②因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的．

可知：.

综上所述，这三个角之间的关系有两种，

或．