Question

已知抛物线y＝x²＋mx－2m²(m≠0)．

(1)求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点：

(2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)是否存在实数m、n，使得AP＝2PB？若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)要证抛物线与x轴有两个不同的交点，实际上就是一元二次方程x2＋mx－2m2＝0有两个不相等的实数根，只要证出b2－4ac＞0即可． 　　(2)由题意可知A、B两点的纵坐标为n，代入抛物线解析式找出m、n的关系． 　　(1)证明：∵m2－4×1×(－2m)2＝m2＋8m2＝9m2＞0，∴抛物线与x轴有两个不同的交点． 　　(2)解：存在． 　　由题意知：A、B两点的纵坐标为n，代入抛物线的解析式得x2＋mx－2m2＝n，即x2＋mx－2m2－n＝0． 　　设A(x1，n)，B(x2，n)，则|x1|＝2|x2|，即x1＝±2x2． 　　① 　　消去x1、x2得m2＝－2m2－n，∴n＝(m≠0)． 　　② 　　消去x1，x2，得－2m2＝－2m2－n，解得n＝0，m≠0的实数． 　　所以m、n满足的条件为n＝(m≠0)或n＝0，m≠0的实数．

提示：

命题立意：考查二次函数与一元二次方程的关系． 　　点评：此题综合性强，难度较大，解决的关键是将二次函数问题转化为一元二次方程问题，然后求解．