Question

【题目】将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点

(I)过边上的动点 (点不与点，重合)作交于点，沿着折叠该纸片，点落在射线上的点处．

①如图，当为中点时，求点的坐标；

②连接，当为直角三角形时，求点坐标：

(Ⅱ)是边上的动点(点不与点重合)，将沿所在的直线折叠，得到，连接，当取得最小值时，求点坐标(直接写出结果即可)．

Answer 1

【答案】（I）①；②点坐标为或；（II）

【解析】

（I）①过点E做EH⊥OA ，交OA于点H，由D为OB中点结合DE∥OA，可得出DE为△BOA的中位线，再根据点A、B的坐标即可得出点E的坐标；

②根据折叠的性质结合角的计算可得出∠AEF=60°≠90°，分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况考虑，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出点E的坐标；

（II）根据三角形的三边关系，找出当点A′在y轴上时，BA′取最小值，根据折叠的性质可得出直线OP的解析式，再根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标．

（I）过点E做EH⊥OA ，交OA于点H，

①∵， ，

∴．

∵为中点，

∴D点的坐标为，

∴为的中位线，

∴点为线段的中点，

又∵，

∴EH为的中位线，

∴点H为线段OA的中点，

∴点H的坐标为，

∴点的坐标为．

②∵点，点，

∴，OB=3

∴，

∴∠B=30°，

由折叠可知:．

∴，

∴．

∵是直角三角形，

∴或

（i）当时，如图1所示

．

在中，，

∴，，

∵，

∴，．

在中， ，．

∴，

∵，

∴，．

∵．

∴点的坐标为；

(ii)当时，如图2所示．

∵，

∴，

∴．

在中， ，，

∴，

∵，

∴，．

在中， ， ，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴点的坐标为．

综上所述:当为直角三角形时，点坐标为或．

（II）由折叠可知:，

∴，，

又∵，

∴当点在轴上时，取最小值，如图3所示．

∵

∴

∴直线的解析式为

设直线的解析式为，

将、代入中，

，解得：，

∴直线的解忻式为．

联立直线、的解析式成方程组，

，解得：，

∴．当取得最小值时，点坐标为．