Question

【题目】如图①，矩形中，，，点是边上的一动点（点与、点不重合），四边形沿折叠得边形，延长交于点．

图① 图②

（1）求证：；

（2）如图②，若点恰好在的延长线上时，试求出的长度；

（3）当时，求证：是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）由矩形的性质和平行线的性质得出∠BAP=∠APN，由折叠的性质得：∠BAP=∠PAN，得出∠APN=∠PAN，即可得出NA=NP；

（2）由矩形的性质得出CD=AB=4，AD=BC=3，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，由折叠的性质得：AF=AB=4，EF=CB=3，∠F=∠B=90°，PE=PC，由勾股定理得出AE==5，求出DE=AE-AD=2，设DP=x，则PE=PC=4-x，在Rt△PDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）过点D作GH∥AF，交EF于G，交AP于H，则GH∥AF∥PE，证出△PDH是等边三角形，得出DH=PH，∠ADH=∠PHD-∠PAD=30°=∠PAD，证出DH=AH，得出AH=PH，由平行线分线段成比例定理得出，得出EG=FG，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DF即可．

（1）证明；∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠BAP=∠APN，

由折叠的性质得：∠BAP=∠PAN，

∴∠APN=∠PAN，

∴NA=NP；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，

∴∠PDE=90°，

由折叠的性质得：AF=AB=4，EF=CB=3，∠F=∠B=90°，PE=PC，

∴AE==5，

∴DE=AE-AD=2，

设DP=x，则PE=PC=4-x，

在Rt△PDE中，由勾股定理得：DP2+DE2=PE2，

即x2+22=（4-x）2，

解得：，即；

（3）证明：过点D作GH∥AF，交EF于G，交AP于H，如图所示：

则GH∥AF∥PE，

∴∠PHD=∠NAH，

∵∠PAD=30°，

∴∠APD=90°-30°=60°，∠BAP=90°-30°=60°，

∴∠PAN=∠BAP=60°，

∴∠PHD=60°=∠APD，

∴△PDH是等边三角形，

∴DH=PH，∠ADH=∠PHD-∠PAD=30°=∠PAD，

∴DH=AH，

∴AH=PH，

∵GH∥AF∥PE，

∴，

∴EG=FG，

又∵GH⊥EF，

∴DE=DF，

∴△DEF是等腰三角形．