Question

【题目】已知抛物线y＝ax2－x＋c的对称轴为直线x＝－1，与x轴交于点A（－4，0）和点B，与y轴交于点C，点D（m，n）为坐标轴中一点，点O为坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若m＝0，∠DAB＝∠BCO，射线AD与抛物线交于点H，请画出图形，求出点H的坐标；

（3）若n＝5，m≠－1，直线DE和DF（不与x轴垂直）都与抛物线只有一个公共点，DE和DF分别与对称轴交于点M，N，点P为对称轴上（M，N下方）一点，当PD2＝PMPN时，请画出图形，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）点的坐标为．

【解析】

（1）由抛物线的对称轴为直线，得出，再将代入解得，即可得到解析式；

（2）当时，求出抛物线与x轴交点，，当时，得到C（0，4），可得AO=CO=4，OB=2，因为，所以点在轴上，分成两种情况讨论，①当在轴正半轴上时，通过证明，得到OB=OD，即点D为（0，2），求出直线AD的解析式，联立直线AD的解析式和抛物线的解析式，得到点H的坐标；②当点在轴负半轴上时，通过证明，得到OB=OD，即点D为（0，-2），求出直线AD的解析式，联立直线AD的解析式和抛物线的解析式，得到点H的坐标即可；

（3）设经过点的直线解析式为，将代入，得到，所以经过点的直线解析式可以表示为，联立过点D的解析式和抛物线的解析式得到，因为经过点的直线和都与抛物线只有一个交点，得到，设直线的解析式为，直线DF的解析式为，可得，，在中，当时，，得到；在中，当时，，得到，设，则，，，因为，列出方程，解得t=4，即可得到点的坐标；

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，

，

，

，将代入解得，

抛物线的解析式为：；

（2）当时，解得，，

，，

当时，，

，，

∵，

点在轴上，

①当点在轴正半轴上时，如图所示，

∵，，，

，

，

，

设的解析式为，将，代入解得，

联立，

，，

，

②当点在轴负半轴上时，如图所示，

∵，，，

，

，

设的解析式为，将，代入解得，

联立，

，，

，

综上所述：点的坐标为或，

（3）设经过点的直线解析式为，将代入，

，

，

经过点的直线解析式可以表示为，

联立，

，

∵经过点的直线和都与抛物线只有一个交点，

，

，

设直线的解析式为，

直线DF的解析式为，

则，，

在中，当时，，

，

在中，当时，，

，

设，则，，，

∵，

，

∵，

，

，

∴点的坐标为；