Question

【题目】阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值，对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b==-2+2=+2，又∵≥0，∴ +2≥0+ 2，即a+b ≥2．

（1）根据上述内容，回答下列问题：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥ 2，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值2．

（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a ，DB＝2b, 试根据图形验证a+b≥2成立，并指出等号成立时的条件.

（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）a=b ；（2）当D与O重合时或a=b时，等式成立；（3）28.

【解析】

（1）由给出的材料可知a=b时；

（2）因为AD=2a，DB=2b，所以AB=2a+2b，CO为中线，所以CO=a+b，再利用射影定理得CD=，在直角三角形COD中斜边大于直角边即CO＞CD，问题得证；

（3）把A点的横坐标为1，代入函数y＝得，y=4，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，此时S四边形ADFE=×8×（4+3）=28．

（1）a=b，

(2)有已知得CO=a+b,CD=2,CO≥CD,即≥2.

当D与O重合时或a=b时，等式成立.

(3),

当DE最小时S四边形ADFE最小.

过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，

所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE=（4+3）=28.