Question

【题目】如图，抛物线L1：（常数t>0）与轴的负半轴交于点G，顶点为Q，过Q作QM⊥轴交轴于点M，交双曲线L2：于点P，且OG·MP=4．

（1）求值；

（2）当t=2时，求PQ的长；

（3）当P是QM的中点时，求t的值；

（4）抛物线L1与抛物线L2所围成的区域（不含标界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数有且只有1个，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）k=-2；（2）PQ=；（3）t=4；（4）．

【解析】

（1）由题意得G点和M点的坐标，可得OG=t，根据OG·MP=4，可得MP，可得出P的坐标，把P代入，即可得出答案；

（2）先根据题意得出Q的坐标为（-1，），P的横坐标为-1，把x=-1代入求出y，即可求出答案；

（3）根据题意表示出Q的坐标和P的坐标，把P代入即可得出答案；

（4）根据题意得由L1与L2围成的区域只有一个整点，分①当x=-2时，满足1<y≤2和当x=-3时，满足1<y≤2；②当x=-2时，满足2<y≤3和当x=-3时，满足0≤y≤1，两种情况讨论即可．

（1）由题意得G的坐标为（-t，0），

∴M点的坐标为（，0），

∴OG=t，

∵OG·MP=4，

∴MP=，

∴P的坐标为（，），

把P（，）代入，得，

解得k=-2；

（2）由（1）得双曲线L2：，

当t=2时，抛物线L1：，

∴Q的坐标为（-1，），P的横坐标为-1，

当x=-1时，在中，y==2，

∴PQ=2-=；

（3）抛物线L1：，

∴Q的坐标为（，），

∵P是QM的中点，

∴P的坐标为（，），

把P（，）代入得：，

解得：t=4；

（4）由L1与L2围成的区域只有一个整点，

①如图，L1具有对称性，

∴当x=-2时，满足1<y≤2，

∴1<t-2≤2，

解得3<t≤4，

当x=-3时，满足1<y≤2，

∴1<（t-3）≤2，

<t-3≤，

，

∴t的取值范围是；

②如图：

当x=-2时，满足2<y≤3，

∴2<t-2≤3，

解得4<t≤5，

当x=-3时，满足0≤y≤1，

∴0≤（t-3）≤1，

0≤t-3≤，

，

此时无解；

综上：t的取值范围是．