Question

【题目】在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

（1）观察猜想

如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．

（2）类比探究

如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

Answer 1

【答案】（1）1，（2）45°（3），

【解析】

（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．

（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．

②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．

解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．

，

，

，，

，

，，

，

，

，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，

故答案为1，．

（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．

，

，

，

，

，，

，

，

直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．

（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．

，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

A，D，C，B四点共圆，

，，

，

，设，则，，

c．

如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，

，

．