Question

如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC沿CA的方向平移CA的长，得△EFA，
（1）若△ABC的面积为3cm²，求四边形BCEF的面积
（2）试猜想AF与BE有何关系？
（3）若∠BAC=60°，求∠FEB的度数．

Answer 1

分析：（1）根据平移的性质得到AE=BF=AC，BF∥CE，△EFA≌△ABC，利用平行四边形的判定方法可得到四边形AEFB是平行四边形，则S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC=3 cm²，然后利用四边形BCEF的面积=3S_△ABC进行计算；
（2）由于AB=AC，而AE=AC，则AB=AE，利用（1）中证得的四边形AEFB是平行四边形，根据菱形的判定方法有四边形AEFB是菱形，然后根据菱形的性质得到AF与BE互相垂直平分；
（3）根据平移的性质得△EFA≌△ABC，所以∠AEF=∠CAB=60°，由于四边形AEFB是菱形，根据菱形的性质得到BE平分∠AEF，于是∠FEB=30°．

解答：解：（1）∵将△ABC沿CA的方向平移CA的长，得△EFA，
∴AE=BF=AC，BF∥CE，△EFA≌△ABC，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC=3 cm²，
∴四边形BCEF的面积=3S_△ABC=9 cm²；

（2）AF与BE互相垂直平分．理由如下：
∵AB=AC，
而AE=AC，
∴AB=AE，
∵四边形AEFB是平行四边形，
∴四边形AEFB是菱形，
∴AF与BE互相垂直平分；

（3）∵△EFA≌△ABC，
∴∠AEF=∠CAB=60°，
∵四边形AEFB是菱形，
∴BE平分∠AEF，
∴∠FEB=30°．

点评：本题考查了菱形的判定与性质：四边相等的四边形为菱形；邻边相等的平行四边形为菱形；菱形的对角线互相垂直平分，且对角线平分对角．也考查了平行四边形的判定与性质以及平移的性质．