Question

【题目】已知：AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，点D为⊙O上一点，连接CD，交AB于点M，AE为∠DAM的平分线，交CD于点E．

（1）如图1，连接BE，若∠ACD=22°，求∠MBE的度数；

（2） 如图2，连接DO并延长，交⊙O于点F，连接AF，交CD于点N．

①求证：DM2+CN2=CM2；

②如图3，当AD=1，AB=时，请直接写出线段ME的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②

【解析】

（1）由圆周角定理，得到∠CAB=∠ABC=∠ADC= 45°，由角平分线的定义和三角形的外角性质，得到∠CAE=∠CEA，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求出答案；

（2）①根据题意，将△ADM绕点A逆时针旋转90°，得到，连接，由旋转的性质，△ADM≌△，得到DM=，然后证明△AC≌△MAC，得到=CM，利用勾股定理，即可得到结论成立；

②连接CF，由（1）可知AC=BC=CE，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出CE的长度，然后利用相似三角形的判定和性质，得到线段的比，然后构建方程，求出CM的长度，即可得到ME的长度．

（1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵点C为弧AB中点，

∴=，

∴∠CAB=∠ABC=∠ADC= 45°，AC=BC

∴△ACB是等腰直角三角形

∵∠DAM的平分线，

∴∠MAE=∠EAD

∵∠CAE=∠CAB+∠MAE，∠CEA=∠ADC+∠EAD，

∴∠CAE=∠CEA，

∴AC=CE=BC

∴∠CBE=∠CBM+∠MBE=

∵∠ACD=22°，

又∵∠CBM=45°

∴∠MBE=；

（2）证明：将△ADM绕点A逆时针旋转90°，得到，连接，

∵DF是⊙O的直径，

∴∠DAF=90°

∵∠ADC＝45°

∴△AND为等腰三角形，AD=AN

∴和AN重合

∴△ADM≌△ANM’

∴DM=，AM=，∠=∠ADC＝45°，

∵∠M’ AM=90°，∠CAB=45°，

∴∠=45°

∴△M’ AC≌△MAC（SAS），

∴=CM

∵∠M’NA=∠ADC＝∠AND＝45°，

∴∠M’ND＝∠M’NC＝90°，

∴M’ N2+ CN 2＝C M’ 2，

∴MD2+ CN 2＝C M2 ；

（3）如图：连接CF，

∵AB与DF为直径，AB=，AD=1，

∴∠DCF=90°，∠DAF=90°，

∴，

由（1）可知，△AND是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角三角形，

∴AN=AD=1，∠AND=45°，AC=BC=CE=，

∴NF=3-1=2，

∴△CNF是等腰直角三角形，

∴CN=CF=，

∴，

∵∠AMD=∠CMB，∠ADM=∠CBM=45°，

∴△ADM∽△CBM，

∴，

∵，，

∴，

解得：,，

∴．