Question

已知，在四边形ABCD中．∠A=∠C=90゜．
（1）求证：∠ABC+∠ADC=180゜；
（2）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，写出DE与BF的位置关系，并证明；
（3）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）由在四边形ABCD中．∠A=∠C=90゜，根据四边形的内角和定理，即可证得：∠ABC+∠ADC=180゜；
（2）延长DE交BF于G．易证∠ADC=∠CBM．可得∠CDE=∠EBF．即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF．
（3）连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．

解答：证明：（1）∵∠A=∠C=90゜，
∴在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=180゜；

（2）DE⊥BF．
延长DE交BF于G，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠AB+∠CBM=180°，
∴∠ADC=∠CBM，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，
∴∠CDE=

1

2

∠ADC，∠EBF=

1

2

∠CBM，
∴∠CDE=∠EBF．
∵∠DEC=∠BEG，
∴∠EGB=∠C=90゜，
∴DE⊥BF．

（3）DE∥BF，
连接BD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠NDC+∠MBC=180゜，
∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠EDC+∠CBF=90゜，
∴∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，
∴DE∥BF．

点评：此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．