Question

7．如图，边长为$\sqrt{3}$的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么AH的长是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 连接CH，如图，根据旋转的性质得∠DCG=30°，∠CFH=∠B=90°，CF=CD=$\sqrt{3}$，再根据“HL”证明△CHF≌△CHD，则∠HCF=∠HCD=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出DH即可得到AH的长．

解答 解：连接CH，如图，
∵边长为$\sqrt{3}$的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，
∴∠DCG=30°，∠CFH=∠B=90°，CF=CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△CHF和Rt△CHD
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CH}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△CHF≌△CHD，
∴∠HCF=∠HCD=30°，
在Rt△CDH中，∵∠DCH=30°，
∴DH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∴AH=$\sqrt{3}$-1．
故答案为$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．