Question

点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．
（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；
（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？
（3）△OPA的面积能大于24吗？为什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三角形的面积公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根据S＞0及已知条件，可求出x的取值范围，根据一次函数的性质可画出函数S的图象；
（2）将x=5代入（1）中所求解析式，即可求出△OPA的面积；
（3）根据一次函数的性质及自变量的取值范围即可判断．
解答：解：（1）∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y），
∴△OPA的面积=OA•|y_P|，
∴S=×6×|y|=3y．
∵x+y=8，∴y=8-x．
∴S=3（8-x）=24-3x；
∵S=-3x+24＞0，
解得：x＜8；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，
即x的范围为：0＜x＜8；
∵S=-3x+24，S是x的一次函数，
∴函数图象经过点（8，0），（0，24）．
所画图象如下：


（2）∵S=-3x+24，
∴当x=5时，S=-3×5+24=9．
即当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为9；

（3）△OPA的面积不能大于24．理由如下：
∵S=-3x+24，-3＜0，
∴S随x的增大而减小，
又∵x=0时，S=24，
∴当0＜x＜8，S＜24．
即△OPA的面积不能大于24．
点评：此题考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是正确地求出S与x的关系，另外作图的时候要运用两点作图法，并且注意自变量的取值范围．