Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，BC＝10，AC＝11，△ABC的面积为33，点P是射线CA上一动点，以BP为直径作圆交线段AC于点E，交射线BA于点D，交射线CB于点F．

（1）当点P在线段AC上时，若点E为中点，求BP的长．

（2）连结EF，若△CEF为等腰三角形，求所有满足条件的BP值．

（3）将DE绕点D顺时针旋转90°，当点E的对应点E'恰好落在BC上时，记△DBE'的面积为S1，△DPE的面积S2，则的值为　 　．（直接写出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或10或2；（3）.

【解析】

（1）先利用面积求高BE，再由勾股定理求AB、AE、CE，再根据全等三角形判定和性质求得PB；

（2）△CEF为等腰三角形，可以分三种情况：①CF＝EF，过F作FG⊥AC于点G，连接PF，利用相似三角形性质即可得到答案；②EF＝CE，过E作EG⊥CB于G，连接EF、BP，利用全等三角形判定和性质即可；③CE＝CF，利用全等三角形判定、性质和勾股定理即可；

（3）过点E作EM⊥DP于点M，过E′作E′G⊥AC于点G，作E′N⊥AB于点N，过D作DF⊥AC于点F，作DH⊥E′G于点H，依次证明：DFGH是矩形，△DEF≌△DE′H（AAS），△E′DN≌△EDM（AAS），再运用由相似三角形性质和解直角三角形知识即可．

解：（1）如图1，连接BE、DE，∴BP为直径，

∴∠BEC＝∠BEA＝90°

∵BC＝10，AC＝11，△ABC的面积为33，

∴ACBE＝33

∴BE＝6

∴CE＝＝8

∴AE＝AC﹣CE＝3

∴AB＝＝3

∵点E为中点

∴∠ABE＝∠PBE

∵BE＝BE

∴△ABE≌△PBE（ASA）

∴BP＝AB＝3；

（2）∵△CEF为等腰三角形，可以分三种情况：

①CF＝EF，如图2，过F作FG⊥AC于点G，连接PF，

∵BP是直径

∴∠BFP＝∠CFP＝∠CGF＝∠CEB＝90°

∴EG＝CG＝CF＝4

∵FG∥BE

∴△CFG∽△CBE∽△CPF

∴＝＝，＝

∴，即CF＝5，

∴＝，即CP＝，

∴EP＝CE﹣CP＝8﹣＝，

∴BP＝＝＝；

②EF＝CE，如图3，过E作EG⊥CB于G，连接EF、BP，则CG＝GF

∴∠EFG＝∠C

∵＝

∴∠BPE＝∠EFG

∴∠C＝∠BPE

∵∠CEB＝∠PEB＝90°，BE＝BE

∴△CBE≌△PBE（AAS）

∴BP＝BC＝10

③CE＝CF，如图4，连接EF、BP、BE、AF，

∵BP为直径

∴∠AFB＝∠AEB＝90°

∵∠C＝∠C

∴△CEB≌△CFP（ASA）

∴CP＝CB＝10

∴PE＝2

∴BP＝＝＝2

综上所述，满足条件的BP值为：或10或．

（3）如图5，过点E作EM⊥DP于点M，过E′作E′G⊥AC于点G，作E′N⊥AB于点N，过D作DF⊥AC于点F，作DH⊥E′G于点H，

∵DF⊥AC，DH⊥E′G，E′G⊥AC

∴∠DFE＝∠DHE′＝∠E′GF＝90°

∴DFGH是矩形，

∴GH＝DF FG＝DH∠FDH＝90°

∴∠EDF+∠EDH＝90°

∵∠EDH+∠E′DH＝90°

∴∠EDF＝∠E′DH

∵DE＝DE′

∴△DEF≌△DE′H（AAS）

∴DF＝DH，EF＝E′H

∵DF∥BE

∴＝＝，设AF＝m，则：DF＝DH＝GH＝FG＝2m，EF＝E′H＝3﹣m，

∴E′G＝m+3，AG＝3m，CG＝CA﹣AG＝11﹣3m，

∵tan∠C＝＝＝＝，即：4E′G＝3CG，

∴4（m+3）＝3（11﹣3m），解得：m＝，

EF＝3﹣＝，DF＝2×＝，

∵BP是直径，

∴∠E′DN+∠E′DP＝90°，

∵∠E′DP+∠EDM＝90°

∴∠E′DN＝∠EDM

∴△E′DN≌△EDM（AAS）

∴E′N＝EM

∴＝＝＝tan∠BPD

∵

∴∠BED＝∠BPD

∵DF∥BE

∴∠BED＝∠EDF

∴∠BPD＝∠EDF

∴tan∠BPD＝tan∠EDF＝＝

∴＝，

故答案为：．