Question

【题目】如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．

（1）四边形ABCD一定是 形；（直接填写结果）

（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1和k2之间的关系式；若不可能，说明理由；

（3）设P（，），Q（，）（x2 ＞x1 ＞0）是函数图象上的任意两点，，，试判断，的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）平行；（2）k1k2=1；（3）a＞b．

【解析】

试题分析：（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象关于原点对称，即可得到结论．

（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 =，两边平分得=，整理后得（k1-k2）（k1k2-1）=0，根据k1≠k2，则k1k2-1=0，即可求得；

（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，得到y1=，y2=，求出a=，得到a-b===＞0，即可得到结果．

试题解析：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象关于原点对称，

∴OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=的图象在第一象限相交于A，

∴k1x=，解得x=（因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）

将x=代入y=k1x得y=，

故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），

又∵OA=OB，

∴=，两边平方得：=，

整理后得（k1-k2）（k1k2-1）=0，

∵k1≠k2，

所以k1k2-1=0，即k1k2=1；

（3）∵P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，

∴y1=，y2=，

∴a=，

∴a-b===，

∵x2＞x1＞0，

∴（x1-x2）2＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，

∴＞0，

∴a-b＞0，

∴a＞b．