Question

11．若抛物线L：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．
（1）若“路线”l的表达式为y=2x-4，它的“带线”L的顶点在反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＜0）的图象上，求“带线”L的表达式；
（2）如果抛物线y=mx²-2mx+m-1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；
（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在 y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）找出直线与反比例函数图象的交点坐标，由此设出抛物线的解析式，再由直线的解析式找出直线与x轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出结论；
（2）找出直线y=nx+1与y轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出m的值；再根据抛物线的解析式找出顶点坐标，将其代入直线解析式中即可得出结论；
（3）设抛物线的顶点为B，则点B坐标为（1，-1），过点B作BC⊥y轴于点C，根据点A 坐标为（0，1）得到AO=1，BC=1，AC=2．然后根据“路线”l是经过点A、B的直线且⊙P与“路线”l相切于点A，连接PA交 x轴于点D，则PA⊥AB，然后求解交点坐标即可．

解答 解：（1）∵“带线”L的顶点在反比例函数$y=\frac{6}{x}$（x＜0）的图象上，
且它的“路线”l的表达式为y=2x-4，
∴直线y=2x-4与$y=\frac{6}{x}$的交点为“带线”L的顶点，
令$2x-4=\frac{6}{x}$，解得x₁=-1，x₂=3（舍去）         
∴“带线”L的顶点坐标为（-1，-6）．
设L的表达式为y=a（x+1）²-6，
∵“路线”y=2x-4与y轴的交点坐标为（0，-4）
∴“带线”L也经过点（0，-4），将（0，-4）代入L的表达式，解得a=2
∴“带线”L的表达式为 y=2（x+1）²-6=2x²+4x-4；

（2）∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），
∴抛物线y=mx²-2mx+m-1与y轴的交点坐标也为（0，1），得m=2，
∴抛物线表达式为y=2x²-4x+1，其顶点坐标为（1，-1）
∴直线y=nx+1经过点（1，-1），解得n=-2，
∴“带线”L的表达式为y=2x²-4x+1“路线”l的表达式为y=-2 x+1；

（3）设抛物线的顶点为B，则点B坐标为（1，-1），

过点B作BC⊥y轴于点C，又∵点A 坐标为（0，1），
∴AO=1，BC=1，AC=2．
∵“路线”l是经过点A、B的直线
且⊙P与“路线”l相切于点A，
连接PA交 x轴于点D，则PA⊥AB，
显然Rt△AOD≌Rt△BCA，∴OD=AC=2，D点坐标为（-2，0）
则经过点D、A、P的直线表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$，
∵点P为直线$y=\frac{1}{2}x+1$与抛物线L：y=2x²-4x+1的交点，
解方程组$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y=2{x^2}-4x+1\\ y=\frac{1}{2}x+1\end{array}\right.\\ \;\end{array}$得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\{y_1}=1\end{array}\right.$（即点A舍去），$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=\frac{9}{4}\\{y_2}=\frac{17}{8}\end{array}\right.$
即点P的坐标为$（{\frac{9}{4}，\frac{17}{8}}）$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题已经二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据直线与反比例函数的交点设出抛物线的解析式；（2）根据“一带一路”关系找出两函数的交点坐标；