Question

在梯形ABCO中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C三点的坐标分别是A（8，0），B（8，10），C（0，4）．点D（4，7）为线段BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OAB的路线运动，运动时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设△OPD的面积为s，求出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，△OPD的面积是梯形OABC的面积的

3

8

？

Answer 1

分析：用待定系数法设出直线BC的解析式为Y=kx+b，代入求出一次函数的解析式是y=

3

4

x+4，再用面积公式s=

1

2

ab求出P的坐标，进一步求出s与t的关系式

解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，
将C（0，4），B（8，10）代入得：

4=0×k+b 10=8×k+b

，
解得：

k= 3 4 b=4

，
即y=

3

4

x+4，
所以直线BC的解析式为：y=

3

4

x+4．

（2）有两种情况：
①当P在OA上运动时；
∴OP=t×1=t，△OPD的边OP上的高是7，
∴△OPD的面积为：
S=

1

2

×t×7
即S=

7

2

t（0＜t≤8），

②当P在AB上运动时：
∵A（8，0），B（8，10），C（0，4），D（4，7），
△ODC的面积为：
S₁=

1

2

×4×4=8，
△OPA的面积是：
S₂=

1

2

×8×（t-8）=4t-32，
△DBP的面积是：
S₃=

1

2

×{10-（t-8）}×（8-4）=36-2t，
四边形OABC的面积是：
S₄=

1

2

×（4+10）×8=56，
∴△ODP的面积是：
S=S₄-S₁-S₂-S₃=56-8-（4t-32）-（36-2t）=-2t+44，
即S=-2t+44（8＜t≤18），
∴S=

7 2 t(0＜t≤8) -2t+44(8＜t≤18)

；

（3）由（2）可知：
a：

7

2

t=

3

8

×56，
解得t=6秒，
b：-2t+44=

3

8

×56，
解得t=11.5秒，
∴t=6秒或t=11.5秒．

点评：这题的关键是考查已知两点坐标用设出解析式y=kx+b求出一次函数的解析式，利用面积公式求出关系式，利用分类讨论思想求出t值．