Question

如图1，抛物线y=a（x-2）²-2的顶点为C，抛物线与x轴交于A，B两点（其中A点在B点的左边），CH⊥AB于H，且tan∠ACH=

1

2

（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标平面内是否存在一点D，使得以O、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，求所有的符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将（1）中的抛物线平移，使其顶点在y轴的正半轴上，在y轴上是否存在一点M，使得平移后的抛物线上的任意一点P到x轴的距离与P点到M的距离相等？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线的解析式知：C（2，-2）；
在Rt△ACH中，CH=2，AH=CH•tan∠ACH=2×

1

2

=1，则 A（1，0）、B（3，0）．
将点A的坐标代入抛物线的解析式中，得：
0=a（1-2）²-2，则 a=2；
∴抛物线的解析式：y=2（x-2）²-2=2x²-8x+6．

（2）假设存在符合条件的D点．
连接OC、BC，由B（3，0）、C（2，-2）得：
OB=3；∠HOC=∠HCO=45°，OC=2

2

；tan∠HBC=2，BC=

5

．
①当OB∥CD₁、OD₁=BC时，如右图；
点D₁的横坐标的纵坐标与BH长相同，则点D₁（1，-2）．
②当OD₂∥BC、OC=BD₂时；
tan∠D₂OB=tan∠HBC=2，则 直线OD₂：y=2x；
设点D₂（x，2x），则：BD₂=

(x-3)2+(2x-0)2

=

5x2-6x+9

，
由OC=BD₂得：2

2

=

5x2-6x+9

，解得：x=

1

5

，x=1（舍）
即点D₂（

1

5

，

2

5

）．
③当OC∥BD₃、OD₃=BC时；
∠D₃BO=∠HOC=45°，即tan∠D₃BO=1，可设 B（x，3-x）；
由OD₃=BC=

5

，得：
x²+（3-x）²=5，解得 x=2，x=1（舍）
即点D₃（2，1）．
综上可知，存在符合条件的点D，且坐标为：（1，-2）、（

1

5

，

2

5

）、（2，1）．

（3）设平移后的抛物线解析式为：y=2x²+m，那么其顶点为（0，m），若存在符合条件的点M，则M（0，2m）；（m＞0）
设P（x，2x²+m），则：
PM²=（x-0）²+（2x²+m-2m）²=x²+4x⁴-4mx²+m²，P到x轴的距离：2x²+m；
依题意有：x²+4x⁴-4mx²+m²=（2x²+m）²，解得：m=

1

8

．
∴存在符合条件的点M，且坐标为 M（0，

1

4

）．