Question

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°，以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF。

（1）求证：EB=EF；
（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长。

Answer 1

解：（1）∵△ADF为等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB
∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF
∵AE为公共边
∴△FAE≌△BAE
∴EF=EB。

（2）如图，连结EC
∵在等边三角形△ADF中，
∴FD=FA，
∵∠EAD=∠EDA=15°，
∴ED=EA，
∴EF是AD的垂直平分线，
则∠EFA=∠EFD=30°
由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°
∵∠FAE=∠BAE=75°，
∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，
∴BE=BA=6
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，
∴∠GEB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴ ∠GBE=30°
∴GE=GB
∵点G是BC的中点，
∴EG=CG
∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，
∴△CEG为等边三角形，
∴∠CEG=60°，
∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°
∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC²=CE²+BE²
∴CE=，
∴BC=。