Question

 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设该抛物线的解析式为，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.

即抛物线的解析式为．              

把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得

解得.

∴ 抛物线的解析式为y = x²－2x－3．  

∴ 顶点D的坐标为.      

说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x²－2x－3”不扣分.

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.     

理由如下：

过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ .            

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ .   

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ .

∴ ， 故△BCD为直角三角形.     

（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． 

过A作AP₁⊥AC交y轴正半轴于P₁，可知Rt△CAP₁ ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合条件的点为．        

过C作CP₂⊥AC交x轴正半轴于P₂，可知Rt△P₂CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合条件的点为P₂（9，0）．       

    ∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P₂（9，0）.