Question

【题目】如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若AB=2，BC=4，求四边形AECF的面积.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)5.

【解析】

（1）由四边形ABCD是矩形可以得到∠DAC=∠BCA ，过AC的中点0作EF⊥AC，由线段的垂直平分线可知AF=CF，AE=CE，则有∠DAC=∠FCA，等量代混得∠BCA=∠FCA，根据三角形的内角和可得∠OEC=∠OFC，根据等腰三角形性质和菱形的性质，即可得出四边形AECF菱形；

（2）由四边形AECF为菱形可得AE=EC，设AE=x，根据AB=2，BC=4和勾股定理可以求出AE，利用求出即可.

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠DAC=∠BCA

又∵过AC的中点0作EF⊥AC

∴AF=CF，AE=CE

∴∠DAC=∠FCA

∴∠BCA=∠FCA，∠COE=90°

∴∠OEC=∠OFC

∴EC=FC

∴AF=CF=CE=AE

四边形AECF菱形

(2)由(1)得，四边形AECF为菱形

∴AE=EC

设AE=x，则BE=BC-EC=

在RtΔABE中，

即：

解得，

∴

.