Question

【题目】如图，等边△ABC边长为4，点P，Q分别是AB,BC边上的动点，且AP =BQ= x,作□PQCR，则用含x的代数式表示□PQCR的面积为______；当PC∥AR时， x =____.

Answer 1

【答案】； .

【解析】

过点P作PH⊥BC于点H，由AP=BQ=x得PB=QC=4-x，利用三角函数解Rt△BPH，得,进一步得到S与x的关系式.当PC∥AR时，证△AOR∽△ACOP,利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可.

解：如图，过点P作PH⊥BC于点H，

∴∠PHB=90°

∵等边三角形ABC

∴∠B=60°，BC=AB=4

∵AP=BQ=x，

∴PB=QC=4-x

在Rt△BPH中，∠B=60°

∴

∴S平行四边形PQCR=QC·PH= ；

当PC∥AR时,如图，连接PC,AR,AC、PR交于点O.

则△AOR∽△ACOP,

∴=,

∵PR∥BC,

∴△APO是等边三角形，AO=AP=PO=x

∴OR=PR=PO=4-x-x=4-2x,CO=4-x

∴=

解得：x =

∴当PC∥AR时， x =.

故答案为：(1) ； (2) .