Question

已知正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O．
（1）若E是AC上的点，过AC作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，如图，试判断OE与OF的数量关系，并说明你判断的理由．

（2）若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG的延长线交BD的延长线于点F，如图，上述结论是否还成立吗？为什么？

Answer 1

解：（1）OE=OF，
∵正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠OAF+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EBO+∠BFG=90°，
∵∠BFG=∠AFO，
∴∠OAF=∠EBO，
∵∠AOF=∠BOE，AO=BO，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．

（2）OE=OF还成立，
∵正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠OAF+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠BEO+∠EAG=90°，
∴∠AFO=∠BEO，
∵∠AOF=∠BOE，AO=BO，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．
分析：（1）根据已知及正方形的性质，利用ASA判定△AOF≌△BOE，再根据全等三角形的对应边相等即可得到结论．
（2）图形虽然有变化，但仍可利用第一问的方法来证明△AOF≌△BOE，从而得到OE=OF．
点评：此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用能力．