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    设是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．

       （1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

       （2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式；

       （3）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求实数的值．

    解：（1）是；

    由函数的图象可知，当时，函数值随着自变量的增大而减少，而当时，；时，，故也有，

          所以，函数是闭区间上的“闭函数”.

    （2）因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：

    ①当时， ，解之得，，

    ②当时， ，解之得，，

             故一次函数的解析式为或.     

    （3）由于函数的图象开口向上，且对称轴为，

    顶点为，由题意根据图象，分以下三种情况讨论：

    ①当时，必有时，且时，，

    即方程必有两个不等实数根，解得，

    而分布在2的两边，这与矛盾，舍去；

             ②当时，必有时，且 时，，

    即

    （1）-（2）得 代入（1）得 或 （舍去）,

    故此时有满足题意；

    ③ 当时，必有函数值的最小值为，

                由于此二次函数是闭区间上的“闭函数”，故必有，

                从而有，而当时，，即得点；

     又点关于对称轴的对称点为，

    由“闭函数”的定义可知必有，, 又由①知

    故可得，符合题意.

    综上所述，,或，为所求的实数.

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