Question

在△ABC中，M是BC中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，AB，AC，MN之间的数量关系为

MN=

1

2

（AC-AB）

．

Answer 1

分析：首先证明△ABN≌△AEN，可得AE=AB，BN=NE，再由条件M是BC中点，可知MN是△BEC的中位线，可得MN=

1

2

EC，再有EC=AC-AE，AE=AB，可得MN=

1

2

（AC-AB）．

解答：解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
∵AN⊥BN，
∴∠ANE=∠ANB=90°，
在△ANB和△ANE中

∠NAE=∠NAB AN=AN ∠ANB=∠ANE=90°

，
∴△ABN≌△AEN（ASA），
∴AE=AB，BN=NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN=

1

2

CE，
∴MN=

1

2

（AC-AE）=

1

2

（AC-AB），
故答案为：MN=

1

2

（AC-AB）．

点评：此题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定，关键是证出△ABN≌△AEN，得到AE=AB，BN=NE，熟记三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．