Question

函数y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点M在x轴的正半轴上，N为OM的中点，过M、N分别作x轴的垂线，交直线于点P、Q，设N点的坐标为（x，0）．
（1）直接写出M点的坐标（

 

，

 

）；
（2）如图1，若点M在线段OA上运动，用含x的代数式表示四边形MPNQ的面积；
（3）如图2，已知C（8，0），D为AC的中点，若点M在线段CD（含线段的端点）上运动，求线段MP、NQ与直线y=-x+4、x轴所围成的图形的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由M，N关系可直接得出M点坐标；
（2）将M，N坐标代入直线方程，可求出Q，P点的纵坐标，由梯形面积公式可得答案；
（3）由（2）可得四边形面积函数，通过配方法可得最大值．

解答：解：（1）由M，N关系可直接得出M点坐标为（2x，0）；

（2）将M，N坐标代入直线方程，得y_Q=-x+4，y_P=-2x+4，
四边形MPNQ的面积为

1

2

（-3x+8）x；

（3）由（2）得S_MPQN=

3

2

(x-

4

3

)2-

8

3

，
令y=0得A点坐标为（4，0），C点坐标为（8，0）?D（6，0），
则6＜2x＜8?3＜x＜4，显然当x=4时有最大值8．

点评：本题涉及一次函数的综合应用，难度中等