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    如图18-1所示，已知二次函数与x轴分别交于点A（2，0）、

    B（4，0），与y轴交于点C（0，-8t）（t＞0）

    1.求a、c的值及抛物线顶点D的坐标（用含t的代数式表示）；

    2.如图18-1，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数t的值；

    3.如图18-2，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，－4）、（4，－3），边HG位于边EF的右侧．若点P是边EF或边FG上的任意一点（不与E、F、G重合），请你说明以PA、PB、PC、PD的长度为边长不能构成平行四边形；

    4.将（3）中的正方形EFGH水平移动，若点P是正方形边FG或EH上任意一点，在水平移动过程中，是否存在点P，使以PA、PB、PC、PD的长度为边长构成平行四边形，其中PA、PB为对边．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

     

     

    1.把点A、C的坐标（2，0）、（0，－8t）代人抛物线y=ax2－6ax+c得，

    ，解得  ，                 ……………………2分

    该抛物线为y=x2+6tx－8t=（x－3）2 + t．

    ∴顶点D坐标为（3，t）                              ……………………3分

    2.如图9，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM＝1．

    由题意得：O′A=OA=2．

    ∴O′A=2AM，∴∠O′AM＝60°．

    ∴∠O′AC＝∠OAC＝60°                         

    ∴在Rt△OAC中：

    ∴OC=，

    即．∴．        …………………6分

    3.①如图10所示，设点P是边EF上的任意一点

    （不与点E、F重合），连接PM．

    ∵点E（4，－4）、F（4，－3）与点B（4，0）在一直线上，

    点C在y轴上，

    ∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．

    又PD>PM>PB，PA>PM>PB，

    ∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．

    ∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．        …………………8分

    ②设P是边FG上的任意一点(不与点F、G重合)，

    ∵点F的坐标是（4，－3），点G的坐标是（5，－3）．

    ∴FB＝3，，∴3≤PB≤．

    ∵PC >4，∴PC >PB．

    ∴PB≠PA，PB≠PC．

    ∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．        …………………9分

    4.t=或或1．                              …………………12分

    解析:

    因为已知PA、PB为平行四边形对边，∴必有PA＝PB．

    ①假设点P为FG与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

    如图11所示，只有当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

    ∵点C的坐标是（0，－8t），点D的坐标是（3， t），

    又点P的坐标是（3，－3），

    ∴PC2＝32＋(－3+8t)2，PD2＝(3＋t)2．

    当PC＝PD时，有PC2 =PD2

    即 32＋(－3+8t)2=(3＋t)2．

    整理得7t2－6t＋1＝0，

    ∴解方程得t=>0满足题意．

    ②假设当点P为EH与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

    如图12所示，只有当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD

    能构成一个平行四边形．

    ∵点C的坐标是（0，－8t），点D的坐标是（3， t），

    点P的坐标是（3，－4），

    ∴PC2＝32＋(－4+8t)2，PD2＝(4＋t)2．

    当PC＝PD时，有PC2 =PD2

    即 32＋(－4+8t)2=(4＋t)2

    整理得7t2－8t＋1＝0，

    ∴解方程得t =或1均大于>0满足题意．

    综上所述，满足题意的t=或或1．

     

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    【小题2】如图18-1，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数t的值；
    【小题3】如图18-2，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，－4）、（4，－3），边HG位于边EF的右侧．若点P是边EF或边FG上的任意一点（不与E、F、G重合），请你说明以PA、PB、PC、PD的长度为边长不能构成平行四边形；
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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年河北石家庄初中毕业班教学质量检测数学试卷（解析版） 题型：解答题

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