Question

20、如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是

2¹⁵•3²⁰•5¹²

．

Answer 1

分析：设最小的希望数是n，则n能被8，9，25整除，8，9，25两两互质，则n=8^a•9^b•25^c，由n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，得a是奇数，b和c是偶数，b除以3余数是1，a和c能被3整除，c除以5余数是1，a和b能被5整除，所以a最小是5，b最小是10，c最小是6．

解答：解：设最小的希望数是n，则n能被8，9，25整除，8，9，25两两互质既然是最小的，就不应该有其它的因数了，
n=8^a•9^b•25^c因为n的八分之一是平方数，所以a是奇数，b和c是偶数因为n的九分之一是立方数，
所以b除以3余数是1，a和c能被3整除因为n的二十五分之一是五次方数，
所以c除以5余数是1，a和b能被5整除所以a最小是5，b最小是10，c最小是6，
所以最小的希望数是2¹⁵•3²⁰•5¹²=30233088000000．
故答案为：2¹⁵•3²⁰•5¹²．

点评：本题是一道新定义的题目，考查了一个数的完全平方，以及数的整除，难度较大．