Question

如图，在△ABC中，已知BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．
（1）求∠A的度数；
（2）若AC=6cm，求AD的长度．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的两个底角相等、三角形内角和定理来求∠A的度数；
（2）连接BD．根据线段垂直平分线的性质知△ABD是等腰三角形；然后利用（1）中的∠A=∠C=30°和已知条件∠B=120°可以推知△CDB是直角三角形，利用30度角所对的直角边是斜边的一半即可求得BD与CD间的数量关系；最后利用等腰三角形ABD的两腰相等（AD=BD）通过等量代换即可求得AC=3AD，从而求得线段AD的长度．

解答：解：（1）∵在△ABC中，已知BA=BC，
∴∠A=∠C（等边对等角）；
又∵∠B=120°，
∴∠A=

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（180°-120°）=30°（三角形内角和定理）；

（2）连接BD．
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，
∴AD=BD，∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=90°；
由（1）知∠A=∠C=30°，
∴BD=

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CD（30°所对的直角边是斜边的一半），
∴CD=2AD=2BD，
∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；
又∵AC=6cm，
∴AD=2cm．

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及三角形内角和定理．解答（2）题时，要充分利用等腰三角形的“三线合一”的性质．