Question

（2013•顺义区二模）如图，直线MN与线段AB相交于点O，点C和点D在直线MN上，且∠ACN=∠BDN=45°

（1）如图1所示，当点C与点O重合时，且AO=OB，请写出AC与BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1所示中的MN绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，AO=OB，（1）中的AC与BD的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到如图3，求

AC

BD

．

Answer 1

分析：（1）由∠AON=∠DOB，∠AON=∠BDN=45°，就可以得出∠BOD=∠BDO=45°，就有BD=BC，∠DBC=90°，就可以得出结论．
（2）作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，延长AC交DB的延长线于点G，由对顶角的性质就可以求出∠G=90°，就有BD⊥AC，根据条件可以得出△AOE≌△BOF，就可以得出AE=BF，进而可以得出△ACE≌△BDF，就可以得出AC=BD．
（3）作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，就有△AEO∽△BFO，就可以得出

AE

BF

=

AO

BO

=

1

k

，再由△ACE∽△BDF，就可以得出

AE

BF

=

AC

BD

=

1

k

而求出结论．

解答：解：（1）AC=BD，BD⊥AC
理由：∵∠AON=∠DOB，且∠ACN=∠BDN=45°
∴∠BOD=∠BDO=45°．
∴BD=BC．
∵AC=BC，
∴AC=BD．
∵∠BOD+∠BDO+∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴BD⊥AC．

（2）AC=BD，BD⊥AC
理由：作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，延长AC交DB的延长线于点G，
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°．
∵∠ACN=∠GCM，且∠ACN=∠BDN=45°，
∴∠GCM=45°，
∴∠G=90°，
∴AC⊥DB．
在△AOE和△BOF中

∠AEO=∠BFO ∠AOE=∠BOF AO=BO

，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=BF．
在△ACE和△BDF中

∠ACN=∠BDN ∠AEC=∠BFD AE=BF

，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴AC=BD；

（3）作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°．
∵∠AOE=∠BOF，
∴△AEO∽△BFO，
∴

AE

BF

=

AO

BO

=

1

k

．
∵∠ACN=∠BDN，∠AEC=∠BFD，
∴△ACE∽△BDF，
∴

AE

BF

=

AC

BD

=

1

k

．
答：

AC

BD

=

1

k

．

点评：本题考查等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定就性质的运用，解答时证明三角形全等和相似是关键．