[题目]四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形.如果这两个三角形相似.那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．(1)如图1.四边形中...对角线平分.求证:是四边形的相似对角线,(2)如图2.直线分别与.轴相交于.两点.为反比例函数()上的点.若是四边形的相似对角线.求反比例函数的解析式,(3)如图3.是四边形的相似对角线.点的坐标为.轴..连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．

（1）如图1，四边形中，，，对角线平分，求证：是四边形的相似对角线；

（2）如图2，直线分别与，轴相交于，两点，为反比例函数（）上的点，若是四边形的相似对角线，求反比例函数的解析式；

（3）如图3，是四边形的相似对角线，点的坐标为，轴，，连接，的面积为．过，两点的抛物线（）与轴交于，两点，记，若直线与抛物线恰好有3个交点，求实数的值．

【答案】（1）详见解析；（2）或或；（3）或

【解析】

（1）设，则，然后根据角平分线的性质可求得∠BAC=∠DAC=50°，根据三角形的内角和定理可得，最后根据相似三角形的判定定理可证是四边形的相似对角线；

（2）根据一次函数即可求出点A、B的坐标，再根据锐角三角函数值即可求出，，然后根据相似对角线的定义和相似三角形对应角的情况分类讨论，分别利用锐角三角函数求出点P的坐标，即可求出反比例函数的解析式；

（3）根据锐角三角函数和面积公式可得，然后根据相似对角线的定义即可求出AC，从而求出两个m的值和两条直线的解析式和，根据图形可知，一定与抛物线有两个交点，故与抛物线有且仅有一个交点，然后联立方程令一元二次方程的△=0即可求出a的值．

（1）证明：如图1，设，则

∵，平分

∴∠BAC=∠DAC=

∴

在和中

∵，

∴∽

∴是四边形的相似对角线．

（2）如图2，可求得直线与两坐标轴的交点分别为，

∴OA=4，OB=

在Rt△AOB中，

∴，

当是四边形的相似对角线时，有如下情况：

①当∠APO=∠AOB=90°时，过点P作PQ⊥x轴于Q，如下图所示，此时又分以下两种情况

（i）当，

在Rt△OAP中，OP=OA·cos∠AOP=2

在Rt△OPQ中，OQ=OP·cos∠AOP=1，PQ= OP·sin∠AOP=

∴此时点，将点坐标代入，得

∴该反比例函数的解析式为；

（ii），

在Rt△OAP中，OP=OA·cos∠AOP=2

在Rt△OPQ中，OQ=OP·cos∠AOP=3，PQ= OP·sin∠AOP=

∴此时点，将点坐标代入，得

∴该反比例函数的解析式为；

②当∠OAP=∠AOB=90°时，此时又分以下两种情况

（i）当∠AOP=∠OAB=30°时，如下图所示，

∵OA=AO，∠OAP=∠AOB=90°

∴△OAP≌AOB，不符合相似对角线的定义，故舍去；

（ii）当时，如下图所示，

在Rt△OAP中，AP=OA·tan∠AOP=

∴此时点，将点坐标代入，得

该反比例函数的解析式为；

③当∠AOP=∠AOB=90°时，此时点P在y轴上，故不存在反比例函数图象，故舍去．

综上所述：反比例函数的解析式为或或．

（3）如图3，作的底边边上的高，则，

∴

在中，由勾股定理可求得，

∵，即

∴

∵是四边形的相似对角线

若∽，由CA=CA可得≌，不符合相似对角线的定义，故舍去，

∴∽，

∴，

∴

∴，即

由点的坐标为可知，点的坐标为，

将，两点的坐标代入抛物线，得

解得，，

所以抛物线的解析式可化为

由，得直线的解析为,，

∵直线与抛物线的交点必有两个

∴直线与该抛物线的交点有且只有一个

∴方程组有且只有一组解

即关于的一元二次方程有两个相等的实数根．

∴，

解得或

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