Question

【题目】热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料：

在x轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，0）．则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别为（a，b）和（c，d），分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q=|a﹣c|，P2Q=|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P1P2的长为．

根据上面材料，回答下面的问题：

（1）在平面直角坐标系中，已知A（6，﹣1），B（6，5），则线段AB的长为 ；

（2）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，0），且CD=6，则点C的坐标是 ；

（3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）或；（3）．

【解析】

（1）根据线段长度计算方法计算即可；

（2）设C点坐标为（0，b），根据线段长度计算方法计算即可；

（3）找到点A关于y轴的对称点A'（﹣1，4），连接A'B交y轴于点C，此时△ABC周长的最小，然后根据线段长度计算方法即可求解．

解：（1）∵A（6，﹣1），B（6，5），

∴．

故答案为：6；

（2）设C点坐标为（0，b），

则在Rt△OCD中，CD2=OC2+OD2，即（﹣3﹣0）2+（0﹣b）2=62，

解得．

所以C的坐标为或．

故答案为：或；

（3）如图，设A点关于y轴的对称点为A'，则点A'的坐标为（﹣1，4），A'C = AC，

∵△ABC的周长=AB+ AC+CB=AB+ A'C+CB，其中线段AB的长为定值，

∴当C点为A'B与y轴的交点时，此时A'B即为A'C+CB的最小值，△ABC的周长最小，

此时△ABC的周长=AB+A'C+CB= AB+A'B．

∵点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），

∴AB2．．

所以△ABC的周长的最小值为．