Question

【题目】如图，是的直径，为上一点，于点，交于点，与交于点为延长线上一点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）欲证明BD是⊙O的切线，只要证明BD⊥AB；
（2）连接AC，证明△FCM∽△FAC即可解决问题；
（3）连接BF，想办法求出BF，FM即可解决问题．

（1）∵，
∴∠AFC=∠ABC，
又∵∠AFC=∠ODB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠ODB+∠EBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，

∵OF⊥BC，
∴，，
∴∠BCF=∠FAC，
又∵∠CFM=∠AFC，
∴△FCM∽△FAC，
∴；
（3）连接BF，
∵AB是⊙O的直径，且AB=10，
∴∠AFB=90°，

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,

∴．