Question

【题目】是等腰直角三角形，点为线段上一点(点不和两点重合)，连接并延长，在的延长线上找一点，使．点为线段上一点(点不和两点重合)，连接，交于点．

(1)如图1，若是线段的中点，求．

(2)如图2，若点是线段的中点，，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到根据线段的中点的定义得到，由勾股定理得到结论；
（2）过A作AH∥CD交BD于H，得到∠AHD=∠CDH，根据全等三角形的性质得到DE=EH，AH=CD，推出四边形AHCD是矩形，得到∠HAD=90°，根据全等三角形的性质得到BH=CF，由线段的和差得到结论．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∵CD=1，

∴

∵F是线段AD的中点，

∴

（2）过A作AH∥CD交BD于H，
∴∠AHD=∠CDH，
∵点E是线段AC中点，
∴AE=CE，

在△AEH与△CED中，

∴△AEH≌△CED（AAS），
∴DE=EH，AE=CE，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴∠HAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH=∠FAC，
∵DE⊥CF，
∴∠DFG=∠CDG，
∴∠AHE=∠DFG，
∴∠AHB=∠AFC，

在△ABH与△ACF中

∴△ABH≌△ACF（AAS），
∴BH=CF，
∵BE=BH+EH，
∴CF+DE=BE．