Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P、Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点P在DE上，若S△PBQ＝，求t的值．

（2）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；

（3）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）t1＝2，t2＝；（2）t1＝4；t2＝7；（3）t1＝；t2＝7．

【解析】

（1）由勾股定理和三角形中位线定理可求DE的长，由锐角三角函数可求PH的长，由三角形面积公式可求解；

（2）①当点P在EF上（≤t≤5时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；

②当点P在FC上（5≤t≤）时，PB＝PF+BF就可以得到；

（3）当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．

解：（1）如图1，过点P作PH⊥AB于H，

∵∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，

∴BC＝＝＝40，

∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，

∴DE＝BC＝20，DE∥BC，EF∥AC，

∴∠AED＝∠ABC，

∴sin∠AED＝sin∠ABC＝，

∴

∴PH＝（20﹣7t）

∴S△PBQ＝×4t×（20﹣7t）＝

∴t1＝2，t2＝；

（2）①当点P在EF上（≤t≤5）时，

如图2，QB＝4t，DE+EP＝7t，

∵EF∥AC，

∴∠FEB＝∠A，且∠PQE＝∠ACB，

∴△PQE∽△BCA，

∴

∴

∴t＝4；

②当点P在FC上（5≤t≤）时，

如图3，已知QB＝4t，从而PB＝＝＝5t，

由PF＝7t﹣35，BF＝20，得5t＝7t﹣35+20．

解得t＝7；

（3）PG∥AB可分为以下几种情形：
当0＜t≤时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；当5≤t≤时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5，当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB．

∴当0＜t≤时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；过点P作PH⊥AB，

∵PG∥AB，PH∥GQ

∴四边形PGQH是平行四边形，且PH⊥AB，

∴四边形PGQH是矩形，

∴PH＝GQ，且∠B＝∠AED，∠PHE＝∠GQB＝90°，

∴△PHE≌△GQB（AAS）

∴HE＝QB

∵cos∠AED＝cos∠ABC＝，

∴

∴HE＝（20﹣7t）

∴（20﹣7t）＝4t，

∴t＝；

当在＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5，过点P作PH⊥AB，

∴四边形PGHQ是矩形，

∴PH＝GQ

∵PH==（85﹣7t），GQ===3t，

∴（85﹣7t）＝3t

∴t＝7．