Question

如图，P为△ABC的边BC上的任意一点，设BC=a，
当B₁、C₁分别为AB、AC的中点时，B₁C₁=

1

2

a，
当B₂、C₂分别为BB₁、CC₁的中点时，B₂C₂=

3

4

a，
当B₃、C₃分别为BB₂、CC₂的中点时，B₃C₃=

7

8

a，
当B₄、C₄分别为BB₃、CC₃的中点时，B₄C₄=

15

16

a，
当B₅、C₅分别为BB₄、CC₄的中点时，B₅C₅=

 

，
…
当B_n、C_n分别为BB_n-1、CC_n-1的中点时，则B_nC_n=

 

；
设△ABC中BC边上的高为h，则△PB_nC_n的面积为

 

（用含a、h的式子表示）．

Answer 1

分析：设AB=b，则AB₁=

1

2

b，AB₂=（

1

2

+

1

22

）b=

22-1

22

b，AB₃=（

1

2

+

1

22

+

1

23

）b=

23-1

23

b，由此可得AB₅=（

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

）b=

25-1

25

b，AB_n=（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）b=

2n-1

2n

b，即

ABn

AB

=

2n-1

2n

，再利用三角形相似求B_nC_n及△PB_nC_n的面积．

解答：解：设AB=b，∵B₅C₅∥BC，∴△AB₅C₅∽△ABC，∴

B5C5

BC

=

AB5

AB

，
B₅C₅=

BC

AB

•AB₅=

a

b

•

25-1

25

b=

31

32

a，
同理可得△AB_nC_n∽△ABC，
∴

BnCn

BC

=

ABn

AB

，
B_nC_n=

BC

AB

•AB_n=

a

b

•

2n-1

2n

b=

2n-1

2n

a，
设△AB_nC_n中B_nC_n边上的高为h_n，则

hn

h

=

BnCn

BC

，即h_n=

2n-1

2n

h，
∴S_△PBnCn=

1

2

B_nC_n•（h-h_n）=

2n-1

22n+1

ah．
故答案为：

31

32

a，

2n-1

2n

a，

2n-1

22n+1

ah．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质的运用．关键是由易到难，找出求边长和高的一般规律．