Question

已知关于x的方程（m-2）x²-（m-1）x+m=0．
（1）请你选取一个合适的整数m，使方程有两个有理数根，并求出这两个根；
（2）当m＞0，且m²-2m＜0时，讨论方程的实数根的情况．

Answer 1

【答案】分析：（1）当m=0时，方程变形为：-2x²+x=0，解方程即可；
（2）分类讨论：①当m=2时，m＞0，且m²-2m=0，不合题意舍去；②当m≠2时，原方程为一元二次方程，计算△=-3（m²-2m）+1，由m²-2m＜0，得到△＞0，根据判别式的意义即可得到此时方程有两个不相等的实数根．
解答：解：（1）当m=0时，方程变形为：-2x²+x=0，
解得：x₁=0，x₂=．
∴当m=0时，方程的两个有理根为：x₁=0，x₂=；

（2）当m＞0，且m²-2m＜0时，得0＜m＜2，原方程为一元二次方程，
∴△=b²-4ac=[-（m-1）]²-4m（m-2），
=m²-2m+1-4m²+8m，
=-3m²+6m+1，
=-3（m²-2m）+1，
∵m²-2m＜0，
∴-3（m²-3m）＞0．
∴△=b²-4ac＞0，
∴此时原方程有两个不相等的实数根．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．