Question

【题目】定义：如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点不重合），如果的三边满足，则称点为抛物线的勾股点。

()直接写出抛物线的勾股点的坐标；

()如图，已知抛物线：与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式；

()在()的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）Q有3个: 或或.

【解析】

（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；

（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，得到,

从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；

（3）由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．

解:

(1)抛物线的勾股点的坐标为；

(2)抛物线过原点,即点,如图,作轴于点G,

∵点P的坐标为,

∴

∴,

∴在中, ,

∴,，即点B的坐标为（4,0）

∴不妨设抛物线解析式为,

将点代入得: ,即抛物线解析式为.

(3)①当点Q在x轴上方时,由知点Q的纵坐标为,

则有,

计算得出: (与P点重合，不符合题意,舍去),

∴点Q的坐标为;

②当点Q在x轴下方时,由知点Q的纵坐标为,

则有,

计算得出: ,

∴点Q的坐标为或；

综上,满足条件的点Q有3个: 或或.