Question

（2012•顺义区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设D为线段OC上的一点，若∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线y=

1

2

x²+bx+c上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在？若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点A及点B的坐标代入二次函数解析式即可得出b和c的值，继而可得出函数解析式；
（2）先求出点C的坐标，根据二次函数解析式求出点P的坐标，然后可得出∠ACB=∠PCD=45°，结合∠DPC=∠BAC，可判断△ACB∽△PCD，利用相似三角形的性质求出CD，然后求出OD，即可得出点D的坐标；
（3）①当BD为平行四边形的一边时，根据平行四边形的性质可得BD=

8

3

=MN，结合点N在y轴上，可得出点M的横坐标为

8

3

或-

8

3

，代入函数解析式即可得出点M的坐标；
②当BD为对角线时，根据点N的横坐标为0，可得出点M的横坐标为

2

3

，代入可得出点M的坐标．

解答：解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入y=

1

2

x2+bx+c中，
得

9 2 -3b+c=6 1 2 -b+c=0.

，
解得

b=-1 c=- 3 2 .

，
∴二次函数的解析式为y=

1

2

x2-x-

3

2

．
（2）令y=0，得

1

2

x2-x-

3

2

=0，解得 x₁=-1，x₂=3，
则点C的坐标为（3，0），

∵y=

1

2

x2-x-

3

2

=

1

2

(x-1)2-2，
∴顶点P的坐标为（1，-2）．
过点A作AE⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F，
易得∠ACB=∠PCD=45°，
AC=

AE2+CE2

=6

2

，PC=

PF2+CF2

=2

2

，
又∵∠DPC=∠BAC，
∴△ACB∽△PCD，
∴

BC

CD

=

AC

PC

，
∵BC=3-（-1）=4，
∴CD=

BC•PC

AC

=

4

3

，
∴OD=OC-CD=3-

4

3

=

5

3

，
∴点D的坐标为(

5

3

 ， 0)．
（3）①当BD为一边时，由于BD=

8

3

，此时可得点M的横坐标为

8

3

或-

8

3

，代入函数解析式y=

1

2

x2-x-

3

2

，
可得点M的坐标为(-

8

3

 ， 

85

18

)或(

8

3

 ， -

11

18

)．  
②当BD为对角线时，根据对角线互相平分，可得平行四边形的中心的坐标为（

1

3

，0）
由∵点N的横坐标为0，
∴点M的横坐标为

2

3

，代入函数解析式可得此时点M的坐标为(

2

3

 ， -

35

18

)．
综上可得点M的坐标为：（

8

3

，-

11

18

）或（-

8

3

，

85

18

）或（

2

3

，-

35

18

）．

点评：此题属于二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，难度较大，难点在第二问，关键是判断出△ACB∽△PCD，求出OD的长度，第三问解答的关键之处在于分类讨论，得出点M的横坐标．