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    如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为y=-
    34
    x+6    ，则
    （1）AO=
    6
    6
    ；AD=
    10
    10
    ；OC=
    3
    3
    ；
    （2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S与t之间的函数关系式；
    （3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．
    分析：（1）先根据A、D是直线y=-
    3
    4
    x+6上的点求出A、D两点的坐标，再根据勾股定理求出AD的长，由图形反折变换的性质得出AE=AO=6，CE⊥AD，根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CED，由相似三角形的对应边成比例即可求出CD的长，进而得出OC的长；
    （2）此题应注意运用全等三角形来求解；由已知条件∠PAQ=∠BAC，可推出∠BAP=∠CAQ（两个等角减去或加上一个同角），从而证得△BAP≌△CAQ，得BP=CQ，以OP为底、CE•sin∠ECD为高即可求得△POQ的面积表达式，由此求得S、t的函数关系式；需要注意的是，在表示OP长时，要分两种情况：
    ①点P在线段OB上，②点P在x轴正半轴上．
    （3）此题按两种情况考虑即可：①以AD为边，②以AD为对角线；可运用平行四边形的性质结合直线CE的解析式来求解．
    解答：解：（1）∵A、D是直线y=-
    3
    4
    x+6上的点，
    ∴A（0，6），D（8，0），
    ∴AO=6，OD=8；
    ∵△AOD是直角三角形，
    ∴AD=
    		AO2+OD2
    =
    		62+82
    =10，
    ∵△ACE由△ACO反折而成，
    ∴AE=AO=6，CE⊥AD，
    ∴DE=QD-AE=10-6=4，
    ∵∠ADO=∠ADO，∠AOD=∠CED，
    ∴△AOD∽△CED，
    ∴
    AD
    CD
    =
    OD
    ED
    ，
    10
    CD
    =
    8
    4
    ，解得CD=5，
    ∴OC=OD-CD=8-5=3．

    （2）当P在线段BO上时，即0＜t＜3时；
    ∵∠BAC=∠PAQ，
    ∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
    又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
    ∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
    ∴△POQ的面积为：S=
    1
    2
    OP•CQ•sin∠ECD=
    1
    2
    （3-t）×
    4
    5
    t，即S=-
    2
    5
    t2+
    6
    5
    t；
    当P在x轴正半轴上时，即t＞3时；
    同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
    ∴S=
    1
    2
    OP•CQ•sin∠ECD=
    1
    2
    （t-3）×
    4
    5
    t，
    即S=
    2
    5
    t2-
    6
    5
    t；
    综上可知：S=
    -
    2
    5
    t2+
    6
    5
    t(0＜t＜3)
    2
    5
    t2-
    6
    5
    t(t＞3)
    ；

    （3）分两种情况：
    ①0＜t＜3时，显然不存在以AD为边的情况，那么只考虑以AD为对角线的情况；
    此时P（t-3，0），取易知AD的中点为：（4，3）；
    ∵平行四边形中，以AD、PQ为对角线，
    ∴AD的中点也是PQ的中点；
    ∴Q（11-t，6）；
    ∵直线CE：y=
    4
    3
    x-4，代入Q点坐标得：
    4
    3
    （11-t）-4=6，解得t=
    7
    2
    ；即BP=CQ=
    7
    2
    ，
    ∴Q（
    3
    2
    ×
    3
    5
    +3，
    3
    2
    ×
    4
    5
    ），即Q（
    51
    10
    ，
    14
    5
    ）；
    ②t＞3时，显然不存在以AD为对角线的情况，那么只考虑以AD为边的情况；
    此时PF∥DP，即F点纵坐标为6，由①得，此时F（
    15
    2
    ，6）；
    即DP=AF=
    15
    2
    ，BP=BD+DP=11+
    15
    2
    =
    37
    2
    ，即t=
    37
    2
    ；
    此时CQ=BP=
    37
    2
    ，同①可求得：Q（
    141
    10
    ，
    74
    5
    ）．
    综上可知：存在符合条件的F点，此时的t值和Q点坐标分别为：t=
    3
    2
    ，Q（
    51
    10
    ，
    14
    5
    ）或t=
    37
    2
    ，Q（
    141
    10
    ，
    74
    5
    ）．
    故答案为：10，6，3．
    点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到图形的翻折变换、一次函数解析式的确定、相似三角形及全等三角形的判定和性质、以及平行四边形的判定等知识，同时考查了分类讨论数学思想的引用，难度较大．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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