Question

（2011•和平区模拟）抛物线l₁：y=-x²+2x与x轴的交点为O、A，顶点为D，抛物线l₂与抛物线l₁关于y轴对称，与x轴的交点为O、B，顶点为C，线段CD交y轴于点E．
（1）求抛物线l₂的顶点C的坐标及抛物线l₂的解析式；
（2）设P是抛物线l₁上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形（直接写出结论）？
（3）在抛物线l₁上是否存在点M，使得S_△ABM=S_{四边形AOED}？如果存在，求出M的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于l₁、l₂关于y轴对称，那它们的顶点坐标关于y轴对称，而开口大小、开口方向、与y轴的交点都相同，据此可求出l₂的解析式；
（2）结合图形即可得出答案．
（3）先求出四边形AOED的面积，然后设出点M的坐标，根据S_△ABM=S_{四边形AOED}，可得出关于y的方程，将y的值代入l₁的解析式即可得出点M的坐标．

解答：解：（1）∵l₁：y=-x²+2x，抛物线l₂与抛物线l₁关于y轴对称，
∴l₂：y=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∴顶点C的坐标是（-1，1）；
（2）

根据所画图形可得四边形PQCD是矩形或等腰梯形．
（3）存在．
设满足条件的M点坐标为（x，y），
连接MA、MB、AD，以题意得A（2，0），B（-2，0），E（0，1），
S_梯形AOED=

1

2

（ED+OA）×OE=

(1+2)×1

2

=

3

2

，
①当y＞0时，S_△ABM=

1

2

×4×y=

3

2

，
解得：y=

3

4

，
将y=

3

4

代入l₂的解析式，可得-x²+2x=

3

4

，
解得：x₁=

3

2

，x₂=

1

2

，
故M₁（

3

2

，

3

4

），M₂（

1

2

，

3

4

）；
②当y＜0时，S_△ABM=

1

2

×4×（-y）=

3

2

，
解得：y=-

3

4

，
将y=

3

4

代入l₂的解析式，可得-x²+2x=-

3

4

，
解得：x₁=

2+ 7

2

，x₂=

2- 7

2

，
故M₃（

2+ 7

2

，

3

4

），M₄（

2- 7

2

，

3

4

）；
综上可得点M的坐标为M₁（

3

2

，

3

4

），M₂（

1

2

，

3

4

），M₃（

2+ 7

2

，-

3

4

），M₄（

2- 7

2

，-

3

4

）．

点评：本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、三角形的面积及梯形的知识，解答本题的关键是数形结合，根据面积关系得出方程求解，有一定难度．