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    在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上（点E、C不重合）．
    （1）如图1，若AB=BC，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值，并证明你的结论；
    （2）如图2，且若AB=BC，点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
    （3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立，请直接写出你的结论．

    【答案】分析：（1）易证四边形ABCD是正方形，证明△NGE≌△BAN，即可得到∠1+∠3=90°，则BN⊥NE，然后根据三角函数即可利用正方形的边长表示吃CE的长度，则可以得到的值；
    （2）延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，易证△BMN≌△GDN，则可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=BG，从而得到△BGE是直角三角形，从而得到BN⊥NE，然后证明△CHE是等腰直角三角形，而BM=CH，即可证得；
    （3）同（2）可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=BG，从而得到△BGE是直角三角形，然后证明△NGE≌△BAN，从而得到BN⊥NE；当AB≠BC时，E，C，D不在一条直线上，因而比值的关系不成立．
    解答：解：（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；=．
    证明：如图，过点E作EG⊥AF于G，则∠EGN=90°．
    ∵矩形ABCD中，AB=BC，
    ∴矩形ABCD为正方形．
    ∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=90°．
    ∴EG∥CD，∠EGN=∠A，∠CDF=90°．   
    ∵E为CF的中点，EG∥CD，
    ∴GF=DG=．
    ∴．
    ∵N为MD（AD）的中点，
    ∴AN=ND=．
    ∴GE=AN，NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB．
    ∴△NGE≌△BAN．
    ∴∠1=∠2．
    ∵∠2+∠3=90°，
    ∴∠1+∠3=90°．
    ∴∠BNE=90°．
    ∴BN⊥NE．      
    ∵∠CDF=90°，CD=DF，
    可得∠F=∠FCD=45°，．
    于是．

    （2）在（1）中得到的两个结论均成立．
    证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，
    交CD于点H．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴AB∥CG．
    ∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN．
    ∵N为MD的中点，
    ∴MN=DN．
    ∴△BMN≌△GDN．
    ∴MB=DG，BN=GN．
    ∵BN=NE，
    ∴BN=NE=GN．
    ∴∠BEG=90°．               
    ∵EH⊥CE，
    ∴∠CEH=90°．
    ∴∠BEG=∠CEH．
    ∴∠BEC=∠GEH．
    由（1）得∠DCF=45°．
    ∴∠CHE=∠HCE=45°．
    ∴EC=EH，∠EHG=135°．
    ∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°，
    ∴∠ECB=∠EHG．
    ∴△ECB≌△EHG．
    ∴EB=EG，CB=HG．
    ∵BN=NG，
    ∴BN⊥NE．
    ∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=CE，
    ∴=；

    （3）BN⊥NE；不一定等于．
    证明：可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE．GE交AD于点Q．
    同（2）可以证得：△BMN≌△GDN，
    则BN=NG=NE，则△BEG是直角三角形，∠BEG=90°，
    与（2）相同，可证：△ECB≌△ECG，
    ∴EB=EG，CB=CG．
    ∵BN=NG，
    ∴BN⊥NE．
    同（2）可得：GQ=CE≠DG=BM，
    故不一定等于（只有当Q与D重合时才相等）．
    点评：本题是正方形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，正确证明边之间的关系，正确作出辅助线是关键．
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